El teorema central del límite (TCL) es una teoría estadística que establece que, dada una muestra aleatoria suficientemente grande de la población, la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal.
Si se toman muestras repetidas de una población con varianza finita y se calculan sus promedios, entonces los promedios se distribuirán normalmente.
Esto es verdad incluso cuando las muestras son tomadas de una distribución NO normal, siempre y cuando se tomen el suficiente número de muestras.
Calculemos la media de cinco números aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 10. La media será baja cuando obtengamos, ej., 2,3,1,2,1 y alta cuando obtengamos 9,8,9,6,8. Lo normal es que la media se acerque a 5. Hagamos esto 10.000 veces y observamos la distribución de las 10.000 medias. Los datos se distribuyen de forma rectangular (uniforme) en el intervalo de 0 a 10, por lo que la distribución de los datos brutos debería ser plana:
# distribución de 10.000 números
# aleatorios entre 0-10
hist(runif(10000)*10, main="")
set.seed(1234) # fijar semilla para que el proceso aleatorio sea siempre igual
A <- runif(10000)*10 # distribucion aleatoria uniforme
hist(A)
# media de la poblacion
mediaA <- mean(A)¿Qué ocurre con la distribución de las medias muestrales, basada en la toma de sólo cinco números aleatorios uniformemente distribuidos?
# creamos un vector numérico vacío de tamaño 10.000
means <- numeric(10000)
# llenamos el vector vacío con medias de 5 números aleatorios
for (i in 1:10000){
means[i] <- mean(runif(5)*10)
}
hist(means,ylim=c(0,1600),main="")
Se ve bien, pero ¿cuan cerca está de una distribución normal?
m <- mean(means)
desv <- sd(means)
xv <- seq(0,10, 0.1)
yv <- dnorm(xv, mean = m, sd = desv)
hist(means,ylim=c(0,1600),main="")
lines(xv, yv)
qqnorm(means)
qqline(means, lty=2)
shapiro.test(sample(x = means, 5000))
Shapiro-Wilk normality test
data: sample(x = means, 5000)
W = 0.99905, p-value = 0.006669Función para generar muestras de medias y visualiza el histograma
generar_muestras_de_medias <- function(numero, muestras = 5){
means <- numeric(numero)
for (i in 1:numero){ means[i] <- mean(runif(muestras)*10) }
hist(means, main = paste('Distribucion', i, 'muestras'))
}Diferencias entre medias muestrales con diferentes repeticiones
# como se ven las diferencias entre medias muestrales con diferentes repeticiones?
par(mfrow = c(2, 2))
for(i in c(10, 100, 1000, 100000)){
generar_muestras_de_medias(i)
}
Cuando seleccionamos muestras de una distribución normal, la distribución de las medias muestrales de la muestra también tiene una forma “normal”.
Aumentar el tamaño muestral disminuye la dispersión.
means <- numeric(5000)
for (i in 1:5000){
means[i] <- mean(runif(5)*10)
}
hist(means, col = 'lightblue', main = '')
plot(density(means), main = '5.000 muestras')
abline(v = 5, lty = 2, col = "red")
mean(means)[1] 4.977626sd(means)[1] 1.296756# media de la poblacion?
mediaA[1] 5.003123Este comportamiento parece bastante razonable. Se esperaría una estimación más precisa de la media de la población original si tomamos la media de muestras de mayor tamaño.
Media de la distribución muestral es = a las media de la población original
\mu_{\bar{x}}=E(\bar{x})=\mu
Desviación estándar de la distribución muestral igual:
\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} Este es el error estándar de la media.
# generar datos entre 0-1
xv <- seq(0,10,0.1)
dnorm(xv, mean = mean(means), sd = sd(means)) [1] 0.0001943350 0.0002605044 0.0003471333 0.0004598275 0.0006054955
[6] 0.0007925820 0.0010313233 0.0013340214 0.0017153317 0.0021925564
[11] 0.0027859336 0.0035189095 0.0044183769 0.0055148635 0.0068426465
[16] 0.0084397733 0.0103479613 0.0126123539 0.0152811078 0.0184047900
[21] 0.0220355671 0.0262261737 0.0310286566 0.0364928978 0.0426649328
[26] 0.0495850913 0.0572860011 0.0657905072 0.0751095740 0.0852402473
[31] 0.0961637610 0.1078438832 0.1202255942 0.1332341894 0.1467748933
[36] 0.1607330553 0.1749749848 0.1893494580 0.2036899049 0.2178172558
[41] 0.2315433947 0.2446751414 0.2570186494 0.2683840879 0.2785904518
[46] 0.2874703311 0.2948744665 0.3006759172 0.3047736796 0.3070956111
[51] 0.3076005435 0.3062794967 0.3031559445 0.2982851205 0.2917523940
[56] 0.2836707811 0.2741776932 0.2634310538 0.2516049365 0.2388848918
[61] 0.2254631380 0.2115337888 0.1972882800 0.1829111425 0.1685762449
[66] 0.1544436036 0.1406568265 0.1273412300 0.1146026351 0.1025268240
[71] 0.0911796125 0.0806074751 0.0708386426 0.0618845848 0.0537417828
[76] 0.0463936984 0.0398128491 0.0339629072 0.0288007499 0.0242784005
[81] 0.0203448121 0.0169474606 0.0140337237 0.0115520364 0.0094528226
[86] 0.0076892115 0.0062175523 0.0049977488 0.0039934361 0.0031720234
[91] 0.0025046288 0.0019659284 0.0015339435 0.0011897846 0.0009173703
[96] 0.0007031344 0.0005357342 0.0004057679 0.0003055086 0.0002286580
[101] 0.0001701245hist(means, main = "", ylim = c(1,800))
yv <- dnorm(xv, mean = mean(means), sd = 1.28996)*2500
lines(xv,yv)
qqnorm(means)
qqline(means, lty = 2, col = "red", lwd = 2)
shapiro.test(means)
Shapiro-Wilk normality test
data: means
W = 0.99869, p-value = 0.0004339p > 0.05 –> NO se rechaza H0 = es normal
p < 0.05 –> se rechaza H0 = NO es normal
Referencias https://bookdown.org/dietrichson/metodos-cuantitativos/test-de-normalidad.html
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviación estándar poblacional es desconocida.
completar formulación wiki
Si el tamaño muestral (n) es muy largo (e.g., > 30), la distribución de t Student se aproxima a una distribución Normal.
par(mfrow = c(1, 2))
curve(dt(x, df = 15), -4, 4, col = 'red', ylab = 'y', lwd = 2, las = 1, main = 'Dist. t Student')
curve(pt(x, df = 15), -4, 4, col = 'blue', ylab = 'y', lwd = 2, las = 1, main = 'Probabilidad t Student')
La distribución Normal necesita de valores de \mu y \sigma. Acabamos de demostrar que no es posible estimar σ a partir de S:
t Student es una distribución que se describe con dos parámetros:
Tiene distinta forma según los grados de libertad (Degrees of freedom [DF])
DF = ν = n - 1
Variación de la distribucion de t Student con distintos DF
degf <- c(1, 3, 8, 30)
colors <- c("red", "blue", "darkgreen", "gold", "black")
labels <- c("df = 1", "df = 3", "df = 8", "df = 30", "normal")par(mfrow = c(1, 1))
curve(dnorm(x), -4, 4, lty=2, ylab='y', lwd=2, las=1)
# plot t student's
for (i in 1:4){
curve(dt(x, degf[i]), lwd=2, col=colors[i], add=TRUE)
}
legend("topright", inset = .05, title = "Distributions",
labels, lwd = 2, lty = c(1, 1, 1, 1, 2), col = colors, bty = "n")
La distribución t se utiliza cuando:
Queremos estimar la media de una población normalmente distribuida a partir de una muestra pequeña.
Tamaño de la muestra es inferior a 30 elementos, es decir, n < 30.
No se conoce la desviación típica o estándar de una población y tiene que ser estimada a partir de las observaciones de la muestra.
± 1 S
67.3% No igual a Dist. Norm., pero Parecida
El error estándar: ::: {.cell}
se <- function(x) {
sqrt(var(x)/length(x))
}:::
Rango probable de valores para un Estadígrafo
Intervalo de confianza = estadígrafo ± margen de error
IntervConf <- function(x, alpha = 0.05) {
t.value <- qt((1-alpha), length(x)-1) # qt -> quantile function for t distrituion
standard.error <- se(x)
ci <- t.value*standard.error
cat(paste((1-alpha), "Confidence Interval = "), mean(x) - ci, "to ", mean(x) + ci,"\n") # concatenate and print
}Intervalo de confianza para estimar un parámetro de población, ej. la media:
X ± t_{n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}
Aplicación de la prueba
# generamos datos de prueba
x <- rnorm(150, 25, 3) # Recuerdan el orden de rnorm
hist(x)
mean(x)[1] 25.0514# intervalo deconfianza al 95%
IntervConf(x)0.95 Confidence Interval = 24.63201 to 25.47079 # intervalo deconfianza al 99%
IntervConf(x, alpha = 0.01)0.99 Confidence Interval = 24.45553 to 25.64727 Nivel de confianza (alpha): Probabilidad que el intervalo de confianza contenga al parámetro de población